第七章 典型综合题分析

证法 1 将 (7.1) 式改写成 $$ \frac{2\left( {b - a}\right) }{a + b} < \ln \frac{b}{a} < \frac{b - a}{\sqrt{ab}}\;\left( {b > a > 0}\right) . \tag{7.2} $$ 令 $x = b/a$ ,则 (7.2) 式又可改写成 $$ \frac{2\left( {x - 1}\right) }{x + 1} < \ln x < \frac{x - 1}{\sqrt{x}}\;\left( {x > 1}\right) . \tag{7.3} $$ 作辅助函数 $F\left( x\right) \frac{\text{ 定义 }}{}\ln x - \frac{2\left( {x - 1}\right) }{x + 1}$ . 求 ${F}^{\prime }\left( x\right)$ 得 $$ {F}^{\prime }\left( x\right) = \frac{{\left( x - 1\right) }^{2}}{x{\left( x + 1\right) }^{2}} > 0\;\left( {x > 1}\right) . $$ 所以 $F\left( x\right)$ 在 $x \geq 1$ 上严格上升,于是对 $\forall x > 1$ ,有 $F\left( x\right) > F\left( 1\right) =$ 0,即 $$ \frac{2\left( {x - 1}\right) }{x + 1} < \ln x\;\left( {x > 1}\right) . $$ 这就是 (7.3) 式的第一个不等式. 为了证 (7.3) 式的第二个不等式,再作辅助函数 $G\left( x\right) \frac{\text{ 定义 }}{\sqrt{x}}\frac{x - 1}{\sqrt{x}} - \ln x$ . 求 ${G}^{\prime }\left( x\right)$ 得 $$ {G}^{\prime }\left( x\right) = \frac{{\left( \sqrt{x} - 1\right) }^{2}}{{2x}\sqrt{x}} > 0\;\left( {x > 1}\right) . $$ 所以 $G\left( x\right)$ 在 $x \geq 1$ 上严格上升,于是对 $\forall x > 1$ ,有 $G\left( x\right) > G\left( 1\right) = 0$ , 即 $$ \ln x < \frac{x - 1}{\sqrt{x}}\;\left( {x > 1}\right) . $$ 证法 2 令 $t = \ln b - \ln a$ ,则 (7.1) 式改写成 $$ {\mathrm{e}}^{\frac{t}{2}} < \frac{{\mathrm{e}}^{t} - 1}{t} < \frac{1 + {\mathrm{e}}^{t}}{2}\;\left( {t > 0}\right) . \tag{7.4} $$ 利用 ${\mathrm{e}}^{t}$ 的泰勒级数,容易求得,对 $\forall t > 0$ , $$ \frac{{\mathrm{e}}^{t} - 1}{t} = 1 + \frac{t}{2} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 2}}^{\infty }\frac{{t}^{n}}{\left( {n + 1}\right) !}, $$ $$ {\mathrm{e}}^{\frac{t}{2}} = 1 + \frac{t}{2} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 2}}^{\infty }\frac{{t}^{n}}{n!{2}^{n}} $$ $$ \frac{1 + {\mathrm{e}}^{t}}{2} = 1 + \frac{t}{2} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 2}}^{\infty }\frac{{t}^{n}}{{2n}!} $$ 比较这些级数的系数, 由于 $$ {2n}! < \left( {n + 1}\right) ! < n!{2}^{n}\;\left( {n \geq 2}\right) , $$ 立得 (7.4)式. 证法 3 (7.4) 式乘以 ${\mathrm{e}}^{-\frac{t}{2}}$ ,并令 $x = \frac{t}{2}$ ,则 (7.4) 式可改写成 $$ 1 < \frac{\operatorname{sh}x}{x} < \operatorname{ch}x\;\left( {x > 0}\right) . \tag{7.5} $$ 根据微分中值定理,对 $\forall x > 0,\exists \xi \in \left( {0,x}\right)$ ,使得 $$ \operatorname{sh}x = \operatorname{sh}x - \operatorname{sh}0 = \operatorname{ch}\xi \left( {x - 0}\right) = x\operatorname{ch}\xi . $$ 又因为 $$ 1 < \operatorname{ch}\xi < \operatorname{ch}x\;\left( {0 < \xi < x}\right) , $$ 即得 (7.5)式 $$ 1 < \operatorname{ch}\xi = \frac{\operatorname{sh}x}{x} < \operatorname{ch}x. $$ 证法 4 (7.5) 式可改写成 $$ \operatorname{th}x = \frac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}x} < x < \operatorname{sh}x\;\left( {x > 0}\right) , \tag{7.6} $$ 容易验证直线 $y = x$ 是曲线 $y = \operatorname{sh}x$ 与曲线 $y = \operatorname{th}x$ 在 $x = 0$ 点的公共切线,以及当 $x > 0$ 时, $y = \operatorname{sh}x$ 为下凸曲线 (因 ${y}^{\prime \prime } = \operatorname{sh}x > 0$ ),所以曲线在其切线的上方; $y = \operatorname{th}x$ 为上凸曲线 (因 ${y}^{\prime \prime } = - 2\mathrm{{sh}}x/{\mathrm{{ch}}}^{3}x <$ 0 ),所以曲线在其切线的下方. 因此 (7.6) 式成立. 证法 5 将 (7.4) 式改写成 $$ {\mathrm{e}}^{t/2} < \frac{1}{t}{\int }_{0}^{t}{\mathrm{e}}^{x}\mathrm{\;d}x < \frac{1 + {\mathrm{e}}^{t}}{2}. \tag{7.7} $$ 因为 $y = {\mathrm{e}}^{x}$ 是凹函数,所以 $$ {\mathrm{e}}^{x} = {\mathrm{e}}^{\frac{x}{t} \cdot t + \left( {1 - \frac{x}{t}}\right) \cdot 0} < \frac{x}{t}{\mathrm{e}}^{t} + \left( {1 - \frac{x}{t}}\right) \;\left( {0 < x < t}\right) . $$ 上式自 0 至 $t$ 积分,即得 $$ \frac{1}{t}{\int }_{0}^{t}{\mathrm{e}}^{x}\mathrm{\;d}x < \frac{1 + {\mathrm{e}}^{t}}{2}. $$ 另一方面,还因为 $y = {\mathrm{e}}^{x}$ 是凹函数,所以 $$ \frac{1}{t}{\int }_{0}^{t}{\mathrm{e}}^{x}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{t}\left\lbrack {{\int }_{0}^{\frac{t}{2}}{\mathrm{e}}^{x}\mathrm{\;d}x + {\int }_{\frac{t}{2}}^{t}{\mathrm{e}}^{x}\mathrm{\;d}x}\right\rbrack $$ $$ = \frac{1}{t}{\int }_{0}^{\frac{t}{2}}\left( {{\mathrm{e}}^{\frac{t}{2} - \xi } + {\mathrm{e}}^{\frac{t}{2} + \xi }}\right) \mathrm{d}\xi > \frac{1}{t}{\int }_{0}^{\frac{t}{2}}2{\mathrm{e}}^{\frac{t}{2}}\mathrm{\;d}\xi = {\mathrm{e}}^{\frac{t}{2}}. $$ 证法 6 将 (7.1) 式改写成 $$ \frac{2}{a + b} < \frac{\ln b - \ln a}{b - a} < \frac{1}{\sqrt{ab}}\;\left( {b > a > 0}\right) . \tag{7.8} $$ 因为 $\displaystyle{\int }_{a}^{\sqrt{ab}}\frac{1}{x}\mathrm{\;d}x = \ln \sqrt{\frac{b}{a}} = {\int }_{\sqrt{ab}}^{b}\frac{1}{x}\mathrm{\;d}x}$ ,所以 $$ \frac{\ln b - \ln a}{b - a} = \frac{1}{b - a}{\int }_{a}^{b}\frac{1}{x}\mathrm{\;d}x = \frac{2}{b - a}{\int }_{a}^{\sqrt{ab}}\frac{1}{x}\mathrm{\;d}x. \tag{7.9} $$ 又因为 $y = 1/x$ 是凹函数,所以 $$ {\int }_{a}^{\sqrt{ab}}\frac{1}{x}\mathrm{\;d}x < \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{\sqrt{ab}}}\right) \left( {\sqrt{ab} - a}\right) = \frac{b - a}{2\sqrt{ab}}. \tag{7.10} $$ 联立 (7.9) 和 (7.10) 式, 即得 $$ \frac{\ln b - \ln a}{b - a} < \frac{1}{\sqrt{ab}}. $$ 另一方面,还因为 $y = 1/x$ 是凹函数,所以曲线 $y = 1/x$ 在横坐标为 $\frac{a + b}{2}$ 的点处的切线: $$ T\left( x\right) = \frac{2}{a + b} - \frac{4}{{\left( a + b\right) }^{2}}\left( {x - \frac{a + b}{2}}\right) $$ 在曲线 $y = \frac{1}{x}$ 的下方. 于是 $$ \frac{\ln b - \ln a}{b - a} = \frac{1}{b - a}{\int }_{a}^{b}\frac{1}{x}\mathrm{\;d}x > \frac{1}{b - a}{\int }_{a}^{b}T\left( x\right) \mathrm{d}x $$ $$ = \frac{1}{b - a} \cdot \frac{1}{2}\left( {b - a}\right) \left( {T\left( a\right) + T\left( b\right) }\right) = \frac{2}{a + b}. $$ 证法 7 注意 $$ \bar{x}\frac{\text{ 定义 }}{}\frac{b - a}{\ln b - \ln a} = \frac{{\int }_{a}^{b}x \cdot \frac{1}{x}\mathrm{\;d}x}{{\int }_{a}^{b}\frac{1}{x}\mathrm{\;d}x} $$ 表示曲线 $y = \frac{1}{x}$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上形成的曲边梯形薄片 (记为 $A$ ) 的重心横坐标 (薄片的面密度为 1 ). 于是 (7.1) 式可改写成 $$ \sqrt{ab} < \bar{x} = \frac{{\int }_{a}^{b}x \cdot \frac{1}{x}\mathrm{\;d}x}{{\int }_{a}^{b}\frac{1}{x}\mathrm{\;d}x} < \frac{a + b}{2}. $$ 再将上式改写成两个不等式, 其中一个为 $$ {\int }_{a}^{\frac{a + b}{2}}\left( {\frac{a + b}{2} - x}\right) \frac{1}{x}\mathrm{\;d}x > {\int }_{\frac{a + b}{2}}^{b}\left( {x - \frac{a + b}{2}}\right) \frac{1}{x}\mathrm{\;d}x. \tag{7.11} $$ 其物理意义是: 曲边梯形 $A$ 在直线 $x = \frac{a + b}{2}$ 的左边部分比右边部分对直线 $x = \frac{a + b}{2}$ 轴的静力矩来得大. 另一个不等式为 $$ {\int }_{\sqrt{ab}}^{b}\left( {x - \sqrt{ab}}\right) \frac{1}{x}\mathrm{\;d}x > {\int }_{a}^{\sqrt{ab}}\left( {\sqrt{ab} - x}\right) \frac{1}{x}\mathrm{\;d}x, \tag{7. 12} $$ 其物理意义是: 曲边梯形 $A$ 在直线 $x = \sqrt{ab}$ 的右边部分比左边部分对直线 $x = \sqrt{ab}$ 轴的静力矩来得大. 先证 (7.11) 式. 对下面积分分别作 $\frac{a + b}{2} - x = u$ 和 $x - \frac{a + b}{2} = u$ 的变换: $$ {\int }_{a}^{\frac{a + b}{2}}\left( {\frac{a + b}{2} - x}\right) \frac{1}{x}\mathrm{\;d}x - {\int }_{\frac{a + b}{2}}^{b}\left( {x - \frac{a + b}{2}}\right) \frac{1}{x}\mathrm{\;d}x $$ $$ = {\int }_{0}^{\frac{b - a}{2}}\frac{u\mathrm{\;d}u}{\frac{a + b}{2} - u} - {\int }_{0}^{\frac{b - a}{2}}\frac{u\mathrm{\;d}u}{u + \frac{a + b}{2}} $$ $$ = {\int }_{0}^{\frac{b - a}{2}}\frac{2{u}^{2}\mathrm{\;d}u}{{\left( \frac{a + b}{2}\right) }^{2} - {u}^{2}} > 0. $$ 再证 (7.12) 式. 对下面积分分别作 $\frac{x}{\sqrt{ab}} = t$ 和 $\frac{\sqrt{ab}}{x} = t$ 的变换: $$ {\int }_{\sqrt{ab}}^{b}\left( {x - \sqrt{ab}}\right) \frac{1}{x}\mathrm{\;d}x - {\int }_{a}^{\sqrt{ab}}\left( {\sqrt{ab} - x}\right) \frac{1}{x}\mathrm{\;d}x $$ $$ = \sqrt{ab}{\int }_{1}^{\sqrt{b/a}}\frac{t - 1}{t}\mathrm{\;d}t - \sqrt{ab}{\int }_{1}^{\sqrt{b/a}}\frac{t - 1}{{t}^{2}}\mathrm{\;d}t $$ $$ = \sqrt{ab}{\int }_{1}^{\sqrt{b/a}}{\left( \frac{t - 1}{t}\right) }^{2}\mathrm{\;d}t > 0. $$ 联立 (7.11) 和 (7.12) 式, 即得 (7.1) 式成立. 证法 8 设 $f\left( x\right) \overset{\text{ 定义 }}{ = }\ln \frac{b + x}{a + x}$ ,则 $$ \ln b - \ln a = \ln \frac{b}{a} = f\left( 0\right) - f\left( {+\infty }\right) = - {\int }_{0}^{+\infty }{f}^{\prime }\left( x\right) \mathrm{d}x $$ $$ = \left( {b - a}\right) {\int }_{0}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{\left( {x + a}\right) \left( {b + x}\right) }. \tag{7.13} $$ 又 $$ {\left( x + \sqrt{ab}\right) }^{2} < \left( {x + a}\right) \left( {x + b}\right) < {\left( x + \frac{a + b}{2}\right) }^{2}\;\left( {x > 0}\right) . $$ (7.14) 联立 (7.13) 和 (7.14) 式,一方面, $$ \frac{\ln b - \ln a}{b - a} = {\int }_{0}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{\left( {x + a}\right) \left( {x + b}\right) } > {\int }_{0}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{{\left( x + \frac{a + b}{2}\right) }^{2}} = \frac{2}{a + b}; $$ 另一方面, $$ \frac{\ln b - \ln a}{b - a} = {\int }_{0}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{\left( {x + a}\right) \left( {x + b}\right) } < {\int }_{0}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{{\left( x + \sqrt{ab}\right) }^{2}} = \frac{1}{\sqrt{ab}}. $$

例 2 设 $f\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{{x}^{2}}{\int }_{x}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{t}^{2}}\mathrm{\;d}t$ ,求证: $f\left( x\right) \leq \sqrt{\pi }/2\left( {x \geq 0}\right)$ .

例 3 求证: $f\left( x\right) = x{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}{\int }_{0}^{x}{\mathrm{e}}^{{t}^{2}}\mathrm{\;d}t$ 在 $\left( {-\infty ,\infty }\right)$ 上有界.

例 4 设 $f\left( x\right)$ 在 $\mathbf{R}$ 上连续可导,且 $\mathop{\sup }\limits_{{x \in \mathbf{R}}}\left| {{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}{f}^{\prime }\left( x\right) }\right| < + \infty$ ,求证: $$ \mathop{\sup }\limits_{{x \in \mathbb{R}}}\left| {x{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}f\left( x\right) }\right| < + \infty . $$

例 5 设 ${f}_{n}\left( x\right) = \cos x + {\cos }^{2}x + \cdots + {\cos }^{n}x$ . 求证: (1)对任意自然数 $n$ ,方程 ${f}_{n}\left( x\right) = 1$ 在 $\lbrack 0,\pi /3)$ 内有且仅有一个根; (2)设 ${x}_{n} \in \left\lbrack {0,\frac{\pi }{3}}\right)$ 是 ${f}_{n}\left( x\right) = 1$ 的根,则 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = \frac{\pi }{3}}$ .

例 6 设 $f\left( x\right) = \frac{1}{1 - x - {x}^{2}}$ ,求证 $\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }\frac{n!}{{f}^{\left( n\right) }\left( 0\right) }$ 收敛.

例 7 设 $f\left( x\right)$ 在 $\left( {-\infty ,\infty }\right)$ 连续, $$ {\int }_{-\infty }^{+\infty }\left| {f\left( x\right) }\right| \mathrm{d}x < + \infty ,\;{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\left| f\left( x\right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}x < + \infty . $$ 定义 $$ \psi \left( x\right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\left( {\left| {x - \xi }\right| + \left| {x - \eta }\right| }\right) }\left| {f\left( \xi \right) }\right| \left| {f\left( \eta \right) }\right| \mathrm{d}\xi \mathrm{d}\eta . $$ 求证: $$ {\int }_{-\infty }^{+\infty }\psi \left( x\right) \mathrm{d}x \leq 4{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\left| f\left( x\right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}x. $$

例 8 设 $f\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }n{\mathrm{e}}^{-n}\cos {nx}$ ,求证: (1) $\mathop{\max }\limits_{{0 \leq x \leq {2\pi }}}\left| {f\left( x\right) }\right| \geq \frac{2}{\mathrm{e}}$ ； (2) ${f}^{\prime }\left( x\right)$ 存在; (3) $\mathop{\max }\limits_{{0 \leq x \leq {2\pi }}}\left| {{f}^{\prime }\left( x\right) }\right| \geq \frac{2}{\pi \mathrm{e}}$ .

例 9 求证: $t$ 的方程 $$ \frac{{x}^{2}}{a - t} + \frac{{y}^{2}}{b - t} + \frac{{z}^{2}}{c - t} = 1\;\left( {a > b > c}\right) $$ ( 1 )有三个不同实根 ${t}_{1},{t}_{2},{t}_{3}$ ,分别属于区间 $\displaystyle{- \infty < {t}_{1} < c,c < {t}_{2} <}$ $b,b < {t}_{3} < a$ ,其中(x, y, z)不在坐标平面上; (2)过任意点的三个曲面 ${t}_{i}\left( {x,y,z}\right) =$ 常数 $\left( {i = 1,2,3}\right)$ 互相正交.

例 10 求证: $\displaystyle{\int }_{0}^{1}\frac{\ln \left( {1 + x}\right) }{1 + {x}^{2}}\mathrm{\;d}x = \frac{\pi }{8}\ln 2$ .

例 11 设 $f\left( x\right)$ 在 $\left( {-\infty , + \infty }\right)$ 上二次连续可微, $$ \left| {f\left( x\right) }\right| \leq 1,\;{\left| f\left( 0\right) \right| }^{2} + {\left| {f}^{\prime }\left( 0\right) \right| }^{2} = 4. $$ 求证: $\exists \xi \in \mathbf{R}$ ,使得 $f\left( \xi \right) + {f}^{\prime \prime }\left( \xi \right) = 0$ .

例 12 设 $f\left( x\right)$ 无穷次可微,且 $$ \left| {{f}^{\left( n\right) }\left( x\right) }\right| \leq M,\;f\left( {1/n}\right) = 0\;\left( {n = 1,2,\cdots }\right) . $$ 求证: $f\left( x\right) \equiv 0$ .

例 13 设 $f\left( x\right)$ 在 $\left( {-\infty , + \infty }\right)$ 可微, $f\left( 0\right) = 0$ ,且处处有 $\left| {{f}^{\prime }\left( x\right) }\right|$ $\leq \left| {f\left( x\right) }\right|$ . 求证: $f\left( x\right) \equiv 0\left( {\forall x \in \mathbf{R}}\right)$ .

例 14 设 $f\left( x\right) \in C\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ ,且 $\displaystyle{\int }_{0}^{1}f\left( x\right) \mathrm{d}x = 0,{\int }_{0}^{1}{xf}\left( x\right) \mathrm{d}x = 1$ . 求证: $$ \mathop{\max }\limits_{{0 \leq x \leq 1}}\left| {f\left( x\right) }\right| > 4 $$

例 15 设 ${f}^{\prime \prime }\left( x\right) \geq 0\left( {-\infty < x < + \infty }\right) ,u\left( x\right) \in C\left( {-\infty , + \infty }\right)$ . 求证: 对 $\forall a > 0$ ,有 $$ \frac{1}{a}{\int }_{0}^{a}f\left\lbrack {u\left( x\right) }\right\rbrack \mathrm{d}x \geq f\left( {\frac{1}{a}{\int }_{0}^{a}u\left( x\right) \mathrm{d}x}\right) . $$

例 16 设 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上可微, ${f}^{\prime }\left( x\right)$ 单调上升并满足 $\left| {{f}^{\prime }\left( x\right) }\right|$ $\geq m > 0$ . 求证: $$ \left| {{\int }_{a}^{b}\cos f\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \leq \frac{2}{m}. $$

例 17 设 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上可微,且 $\left| {{f}^{\prime }\left( x\right) }\right| \leq M$ . 求证: $$ \left| {\frac{1}{b - a}{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x - \frac{f\left( a\right) + f\left( b\right) }{2}}\right| \leq \frac{M\left( {b - a}\right) }{4}\left( {1 - {\theta }^{2}}\right) , $$ 其中 $\theta \overset{\text{ 定义 }}{ = }\frac{f\left( b\right) - f\left( a\right) }{M\left( {b - a}\right) }$ .

例 18 设 $f\left( x\right)$ 在 $\left( {-\infty , + \infty }\right)$ 上二次连续可微,并满足: (1) $f\left( x\right) \leq {f}^{\prime \prime }\left( x\right)$ ; (2) $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \pm \infty }}{\mathrm{e}}^{-\left| x\right| }f\left( x\right) = 0$ . 求证: $f\left( x\right) \leq 0\left( {\forall x \in \left( {-\infty , + \infty }\right) }\right)$ .

例 19 设 $f\left( x\right) \in {C}^{1}\lbrack 0,\infty ),x{f}^{\prime }\left( x\right)$ 在 $\lbrack 0,\infty )$ 上有界,并且 $$ \frac{1}{x}{\int }_{x}^{2x}\left| {f\left( t\right) }\right| \mathrm{d}t \rightarrow 0\;\left( {x \rightarrow + \infty }\right) . $$ 求证: $f\left( x\right) \rightarrow 0\left( {x \rightarrow + \infty }\right)$ .

例 20 假设函数 $f\left( x\right)$ 在闭区间 $\left\lbrack {0,b}\right\rbrack$ 上单调增加,函数 $g\left( x\right)$ 使得广义积分 $\displaystyle{\int }_{0}^{+\infty }\frac{g\left( x\right) }{x}\mathrm{\;d}x$ 收敛. 求证: $$ \mathop{\lim }\limits_{{p \rightarrow + \infty }}{\int }_{0}^{b}f\left( x\right) \frac{g\left( {px}\right) }{x}\mathrm{\;d}x = f\left( {0}^{ + }\right) {\int }_{0}^{+\infty }\frac{g\left( x\right) }{x}\mathrm{\;d}x. $$

例 21 设 $F\left( {x,y,z}\right)$ 在 ${\mathbf{R}}^{3}$ 中有连续的一阶偏导数,并满足 $$ y\frac{\partial F}{\partial x} - x\frac{\partial F}{\partial y} + \frac{\partial F}{\partial z} \geq \alpha > 0\;\left( {\alpha \text{ 为常数 }}\right) . $$ 求证: 当点(x, y, z)沿着曲线 $\Gamma : x = - \cos t,y = \sin t,z = t\left( {t \geq 0}\right)$ 趋向无穷时, $F\left( {x,y,z}\right) \rightarrow + \infty$ .

例 22 设 $u = u\left( {x,y}\right)$ 在平面区域 $D$ 上二阶连续可微. 求证: $$ \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {y}^{2}} \geq 0\;\left( {\forall \left( {x,y}\right) \in D}\right) $$ 成立的充要条件为 $$ u\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \leq \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }u\left( {{x}_{0} + r\cos \theta ,{y}_{0} + r\sin \theta }\right) \mathrm{d}\theta \;\left( {\forall \left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \in D}\right) , $$ 其中 $0 \leq r < d\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) ,d$ 是点 $\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ 到 $D$ 的边界 $\partial D$ 的距离.

例 23 设 $U\left( {{x}_{0},{\delta }_{0}}\right) \subset {\mathbf{R}}^{n},f \in {C}^{2}\left( {U\left( {{x}_{0},{\delta }_{0}}\right) }\right) ,\nabla f\left( {x}_{0}\right) = 0$ . 又设对任意单位向量 $\mathbf{\alpha } \in {\mathbf{R}}^{n},{\left( \mathbf{\alpha } \cdot \nabla \right) }^{2}f\left( {\mathbf{x}}_{0}\right) > 0$ . 求证: $\exists 0 < \delta < {\delta }_{0}$ ,使 $$ \left( {x - {x}_{0}}\right) \cdot \nabla f\left( x\right) > 0.\;\left( {\forall x \in U\left( {{x}_{0},\delta }\right) \smallsetminus \left\{ {x}_{0}\right\} }\right) . $$

例 24 设 $U\left( {{x}_{0},\delta }\right) \subset {\mathbf{R}}^{n},f$ 在 $U\left( {{x}_{0},\delta }\right)$ 内连续,在 $U\left( {{x}_{0},\delta }\right) \smallsetminus \left\{ {x}_{0}\right\}$ 内可微. 求证: (1)如果 $\left( {\mathbf{x} - {\mathbf{x}}_{0}}\right) \nabla f\left( \mathbf{x}\right) < 0\left( {\forall \mathbf{x} \in U\left( {{\mathbf{x}}_{0},\delta }\right) \smallsetminus \left\{ {\mathbf{x}}_{0}\right\} }\right)$ ,那么 ${\mathbf{x}}_{0}$ 是 $f$ 的一个极大值点; (2)如果 $\left( {\mathbf{x} - {\mathbf{x}}_{0}}\right) \cdot \nabla f\left( \mathbf{x}\right) > 0\left( {\forall \mathbf{x} \in U\left( {{\mathbf{x}}_{0},\delta }\right) \smallsetminus \left\{ {\mathbf{x}}_{0}\right\} }\right)$ ,那么 ${\mathbf{x}}_{0}$ 是 $f$ 的一个极小值点; (3) 如果 $f\left( {x,y}\right) = {x}^{2} + {2xy} + 3{y}^{2} + {2x} + {10y} + 9$ ,则(1, - 2)是 $f\left( {x,y}\right)$ 的一个极小值点.

例 25 设 $f\left( x\right)$ 在 $\mathbf{R}$ 上有二阶连续导数,且有 $$ {M}_{0} = {\int }_{-\infty }^{+\infty }\left| {f\left( x\right) }\right| \mathrm{d}x < + \infty ,\;{M}_{2} = {\int }_{-\infty }^{+\infty }\left| {{f}^{\prime \prime }\left( x\right) }\right| \mathrm{d}x < + \infty . $$ 求证: (1) ${M}_{1} = {\int }_{-\infty }^{\infty }\left| {{f}^{\prime }\left( x\right) }\right| \mathrm{d}x < + \infty$ ; (2) ${M}_{1}^{2} \leq 4{M}_{0}{M}_{2}$ .

例 26 设 $D$ 为 ${\mathbf{R}}^{n}$ 中的有界闭集,映射 $f : D \rightarrow D$ 满足: $\forall x,y \in$ $D,\mathbf{x} \neq \mathbf{y}$ ,有 $\left| {\mathbf{f}\left( \mathbf{x}\right) - \mathbf{f}\left( \mathbf{y}\right) }\right| < \left| {\mathbf{x} - \mathbf{y}}\right|$ . 证明: 映射 $\mathbf{f}$ 有惟一的不动点 ${\mathbf{x}}^{ * } \in D$ ,即有惟一点 ${\mathbf{x}}^{ * } \in D$ ,使 $\mathbf{f}\left( {\mathbf{x}}^{ * }\right) = {\mathbf{x}}^{ * }$ .

例 27 设 $D : {x}^{2} + {y}^{2} < 1.f\left( {x,y}\right)$ 为有界正值函数,在 $D$ 上有二阶连续偏导数, 且满足 $\Delta \ln f\left( {x,y}\right) \geq {f}^{2}\left( {x,y}\right) \;\left( {\Delta \text{ 为拉普拉斯算符,即 }\Delta = \frac{{\partial }^{2}}{\partial {x}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}}{\partial {y}^{2}}}\right) .$

例 28 设 $f\left( {x,y}\right)$ 在 ${x}^{2} + {y}^{2} < 1$ 上二次连续可微,且满足 $$ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial {x}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}f}{\partial {y}^{2}} = {\mathrm{e}}^{-\left( {{x}^{2} + {y}^{2}}\right) }. $$

例 29 设 $\Omega$ 为空间第一卦限区域,函数 $f\left( {x,y,z}\right)$ 在 $\Omega$ 上有连续一阶偏导数. $S$ 为 $\mathbf{\Omega }$ 中任一光滑闭曲面,试给出第二型曲面积分 $$ {\iint }_{S}f\left( {x,y,z}\right) \left( {x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z + y\mathrm{\;d}z\mathrm{\;d}x + z\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y}\right) = 0 $$ 的充要条件, 并证明之.

例 30 设 $A > 0,{AC} - {B}^{2} > 0$ . 求平面曲线 $A{x}^{2} + {2Bxy} + C{y}^{2} = 1$ 所围的图形面积.

例 31 利用级数收敛性证明无穷积分 $\displaystyle{\int }_{0}^{+\infty }{\left( -1\right) }^{\left\lbrack {x}^{2}\right\rbrack }$ 收敛,其中 $\left\lbrack {x}^{2}\right\rbrack$ 表示不超过 ${x}^{2}$ 的最大整数.

证 对 $\forall n,k \in N$ ,注意到 $$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 2}}^{k}\frac{{a}_{n}}{{n}^{2} + {m}^{2}} \leq {\int }_{1}^{k}\frac{{a}_{n}}{{n}^{2} + {x}^{2}}\mathrm{\;d}x $$ $$ = \frac{{a}_{n}}{n}\left( {\arctan \frac{k}{n} - \arctan \frac{1}{n}}\right) < \frac{\pi }{2} \cdot \frac{{a}_{n}}{n}, $$ 于是有 $$ {c}_{n}\overset{\text{ 定义 }}{ = }\mathop{\sum }\limits_{{m = 1}}^{\infty }\frac{{a}_{n}}{{n}^{2} + {m}^{2}} = \frac{{a}_{n}}{{n}^{2} + 1} + \mathop{\sum }\limits_{{m = 2}}^{\infty }\frac{{a}_{n}}{{n}^{2} + {m}^{2}} $$ $$ \leq \frac{1}{2}\left( {\pi + 1}\right) \frac{{a}_{n}}{n}, $$ 于是 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{c}_{n}}$ 收敛,即 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\mathop{\sum }\limits_{{m = 1}}^{\infty }\frac{{a}_{n}}{{n}^{2} + {m}^{2}}}$ 收敛.

例 33 设有一座小山,取它的底面所在的平面为 ${Oxy}$ 坐标平面, 其底部所占的区域为 $$ D = \left\{ {\left( {x,y}\right) \mid {x}^{2} + {y}^{2} - {xy} \leq {75}}\right\} . $$ 小山的高度函数为 $h\left( {x,y}\right) = {75} - {x}^{2} - {y}^{2} + {xy}$ . (1)设 $M\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ 为区域 $D$ 上一点,问 $h\left( {x,y}\right)$ 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大? 若记此方向导数的最大值为 $g\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ , 试写出 $g\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ 的表达式. (2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点. 也就是说,要在 $D$ 的边界线 ${x}^{2} +$ ${y}^{2} - {xy} = {75}$ 上找出使 (1) 中的 $g\left( {x,y}\right)$ 达到最大值的点. 试确定攀登起点的位置.